Ядерное сглаживание для оценки плотности (теормин)

Короче говоря...

Одним из непараметрических способов оценки плотности распределения является ядерное сглаживание (KDE). В отличие от метода гистограмм блоки (окна), по которым оценивается распределение, не фиксированы, а центрируются по точке-представителю.

Общая формула KDE (Kernel Density Estimation): ${\hat {p}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{N}K({\frac {x-x_{i}}{h}})}{Nh}}$, где $K(u)$ — ядро, $h$ — ширина окна. Это два наиважнейших параметра метода. Выбор ядра в основном влияет на гладкость итогового распределения, но на точность аппроксимации намного большее влияние оказывает ширина окна, поэтому подбор данного параметра является важной и не всегда тривиальной задачей (прибегают к кросс-валидации, различным эвристикам или динамическому выбору ширины окна). Основное правило: чем плотнее выборочное распределение, тем уже должно быть окно.

Пример ядра: $K(u)={\frac {I[|u|\leq 1]}{2}}$ — tophat-ядро. Одно из простейших ядер, но не учитывает расстояние между объектами, а также итоговое распределение не будет являться непрерывным.

Говорят, что оценка ${\hat {p}}(x)$по методу KDE состоятельна, если $\lim _{N\to \infty }E([{\hat {p}}(x)-p(x)]^{2})=0,\forall x$

Достаточные условия состоятельности:

1. $K(u)$ — ядро (Примеры ядер, пояснения).
2. $\lim _{N\to \infty }h(N)=0$
3. $\lim _{N\to \infty }Nh(N)=\infty$

Разумеется, имеются обобщения на многомерный случай.

С чего я это взял?

1. Мои конспекты
2. Презентейшн